Fig SG-1

Nota:  Al final de esta página se ha incluido un sumario de las constantes y variables usadas en este documento.

La evaluación pretende mostrar que suponiendo colisiones elásticas de los eterinos con las subpartículas (SPs) que componen la materia ordinaria se produce una fuerza no-nula entre 2 cuerpos materiales A y B que se supondrán (por sencillez en este primer estudio) quietos en el éter.

* Si se hiciera la evaluación en 3D (en 3 dimensiones) se harían las suposiciones siguientes:

- Sean 2 cuerpos A y B formados por materia "ordinaria".
- Para simplificar el cálculo se supondrá que dichos cuerpos son esféricos y que tienen una distribución de materia (de subpartículas SP) homogénea. También se llamarán A y B a los puntos centrales de las esferas de materia respectivas.
- Sean r_A  y  r_B los radios respectivos de dichas esferas de materia.
- Sean n_A  y  n_B los números de SPs de que están formados respectivamente los cuerpos materiales A y B.
- Se supone que todas las subpartículas materiales (SP) son del mismo "tamaño" r_S y son "opacas" a los eterinos.
- Se supondrá que para cuerpos A y B de materia "ordinaria" se cumple:

[SG-a]              p r_A² >> n_A p r_S²

  p r_B² >> n_B p r_S²

lo cual implica que las SP que componen un cuerpo material ordinario apenas se apantallan entre sí. Es decir se supondrá que los cuerpos A y B son altamente (aunque no totalmente) transparentes a los eterinos.

Se puede mostrar (ver otras secciones del Eve Model) que la "masa" (concepto ordinario de la Física convencional) de un cuerpo A formado por materia ordinaria es directamente proporcional al número n_A de SPs que lo componen.

* Ahora bien, como se va hacer (al menos de momento y debido a su mayor sencillez) la evaluación en 2D se supondrá en cambio que:

Los 2 cuerpos materiales A y B son planos y de forma circular estando formados cada uno por un número elevado de subpartículas (SP) cuya distribución es homogénea. En este caso las SP serían mini círculos (superficies). También se llamarán A y B a los puntos centrales de los círculos de materia respectivas.

Sean r_A  y  r_B los radios respectivos de dichos círculos de materia.

Sean n_A  y  n_B los números de SPs de que están formados respectivamente los cuerpos materiales A y B.

Se supone que todas las subpartículas materiales (SP) (opacas a los eterinos) son del mismo "tamaño" r_S

Se supondrá que para cuerpos A y B de materia "ordinaria" se cumple:

[SG-b]             r_A >> n_A r_S

    r_B >> n_B r_S

lo cual implica que las SP que componen un cuerpo material ordinario apenas se apantallan entre sí. Es decir se supondrá que los cuerpos A y B son altamente (aunque no totalmente) transparentes a los eterinos.

Para evaluar la fuerza eterínica sufrida por B se supondrá que el éter que envuelve a los cuerpos A y B puede caracterizarse como sigue:

Supóngase, a efectos de la evaluación, un círculo (dibujado con línea de trazos en la Fig SG-1) en cuyo interior están los cuerpos materiales A y B. Se le llamará a dicho círculo "círculo de evaluación" (CE). Sea por ejemplo r el radio de dicho círculo. Se supondrá (Fig SG-2) que desde cada "punto" P de dicho círculo, o más exactamente desde cada "elemento de arco" de longitud ds de dicho círculo, siendo ds << 2 p r, penetran cada unidad de tiempo hacia el interior del círculo un número grande de eterinos uniformemente distribuidos entre todas las direcciones. Las direcciones que penetran hacia el interior del círculo abarcan un ángulo p (cuya bisectriz sería la dirección que une el punto P en cuestión con el centro del círculo de evaluación).

Se supondrá que por cada arco unidad del círculo CE penetran hacia su interior n eterinos de velocidad v por unidad de ángulo y por unidad de tiempo.

Se supondrá, en un primer cálculo, que todos los eterinos tienen la misma velocidad v (aunque será fácil extender después el cálculo a la suposición de que los eterinos tienen una amplia distribución de velocidades).

Fig SG-2

NOTA: Como se dijo al principio, se supone que los cuerpos materiales A y B están “quietos en el éter”. Más aún, se asumirá aquí que las subpartículas materiales que componen dichos cuerpos A y B están ellas mismas quietas en el éter. De forma más rigurosa, debe interpretarse que, en el referencial asociado a dichos componentes materiales, la distribución de velocidades de los eterinos del éter es isótropa. Este artículo solo pretende estudiar las implicaciones de las relaciones geométricas que se dan entre los eterinos y las partículas materiales en este caso ideal sencillo de partículas quietas en el éter. (No es el objeto de este estudio analizar la fuerza de frenado del éter sobre partículas materiales que se mueven a través del mismo ni como afectaría dicho movimiento a la fuerza de Le-Sage que se ejercen mutuamente dichas partículas).

La siguiente Figura SG-3 ilustra algunas relaciones geométricas pertinentes para el cálculo.

Fig SG-3

El centro O del círculo CE se hace coincidir con el origen {0,0} de coordenadas cartesianas 2D. Los cuerpos A y B se supone que están situados en las posiciones respectivas {x_A,0} y {x_B,0}.

P’ es el punto proyección de P en el eje de las X.

La distancia PB vale:

[SG-1]         PB = ( P’B² + P’P² ) ^1/2 = ((x_P-x_B)² + y_P²) ^1/2

Supuesto B en reposo, una fuerza eterínica de módulo F portada por eterinos que viajan de P a B tiene las componentes:

[SG-2]        

[SG-3]        

Ahora bien, para integrar después a todos los P (o más exactamente a todos los elementos de arco) del círculo de evaluación, interesa definir la posición de P en función de un parámetro angular. Sea q este parámetro definido como el ángulo que forma el radio vector OP con el semieje +X. En función de este parámetro la distancia PB vale:

[SG-4]         PB  = ((r Cos(q)-x_B) ² + r Sin(q)²) ^1/2 = (r² + x_B² -2 r x_B Cos(q)) ^1/2

y las componentes cartesianas de una fuerza eterínica F portada por eterinos que viajan de P a B son (ver [SG-4]):

[SG-5]    

[SG-6]    

Para evaluar la fuerza sufrida por B debida a la presencia de A se asumirán:

- La probabilidad de que un eterino de velocidad v incidente sobre el círculo B (de radio r_B) choque con una de las SP que componen el cuerpo B es P_B(v) <<1

- La probabilidad de que un eterino de velocidad v incidente sobre el círculo A (de radio r_A) choque con una de las SP que componen A es P_A(v) <<1

- Cuando un eterino de velocidad v relativa a un cuerpo material "ordinario" (como A o B) colisiona con una de sus subpartículas, la probabilidad de que sufra una desviación angular (respecto a la dirección inicial de v) comprendida en el intervalo {a, a+da} viene dada por:

[SG-7]           

donde la función (1-Cos²[a/2]) es simplemente una hipótesis de trabajo y donde el factor 2/p se ha introducido para normalizar la probabilidad o sea para que:

[SG-8]    

Se considera que a la fuerza eterínica sufrida por B contribuyen todos los eterinos que procedentes de cualquier punto del círculo de evaluación CE y sufren alguna de las 3 vicisitudes siguientes:

1) Los que llegan a B sin haberse encontrado con A.

2) Los que llegan a B después de haberse encontrado con A pero habiéndolo atravesado limpiamente A (sin colisionar con ninguna de sus SPs).

3) Los que llegan a B después de haber colisionado con alguna de las SP de A.

 

Ejemplo del caso (1)

 

 

Ejemplo del caso (2)

 

 

Ejemplo del caso (3)

 

Las anteriores figuras son solo ilustrativas pero en la presente evaluación se estudiará el caso (más sencillo de calcular) en el que la distancia AB entre los cuerpos materiales A y B es mucho mayor que cualquiera de dichos cuerpos. Es decir se asumirá que:

[SG-9]             AB >> r_A

    AB >> r_B

Se da por sentado (aunque no se pretenderá demostrar de momento) que el cálculo de la fuerza F_B sufrida por B no depende del tamaño ni de la posición del círculo de evaluación CE cuyo único requisito es que los cuerpos A y B estén en su interior. No obstante en la evaluación se tomará el centro del círculo CE en un punto de la recta BA debido a lo cual y a la simetría de las colisiones asumida en SG-7, es evidente que la fuerza F_B sufrida por B tendrá (por razones de simetría) la dirección de AB siendo nula su componente perpendicular a dicha dirección. Por ejemplo, situando los cuerpos A, B y el CE como en la Fig SG-3 bastará con hallar la componente X de la fuerza F_B sufrida por B (siendo nula su componente Y).

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Antes de pasar a evaluar como contribuyen a la fuerza total F_B los tres "grupos" de eterinos descritos arriba se evalúa la fuerza eterínica, que se llamará F₀, sufrida por un cuerpo B en ausencia de A y debida por tanto solamente a los eterinos del éter local. Estos eterinos del éter local se suponen representados por esos eterinos de velocidad v que penetran en el círculo de evaluación CE. Imagínese por tanto que B está situado dentro del círculo CE como indica la Fig SG-3 y que A no existe.

Un elemento de arco de longitud ds y de posición P definida por el ángulo q contribuye con una fuerza eterínica sobre B que se puede deducir así:

Tal como se ha dicho arriba, se supone que por cada arco unidad del círculo CE penetran hacia su interior n eterinos de velocidad v por unidad de ángulo y por unidad de tiempo.

A la distancia PB una SP de diámetro 2 r_S subtiende desde P un ángulo

[SG-11]                f = 2 r_S /PB

por tanto las n_B subpartículas de B subtienden en total un ángulo n_B .f. Por tanto de los n .ds eterinos que salen del arco ds por unidad de tiempo y por unidad de ángulo, colisionarán por unidad de tiempo con las SP de B n .ds . n_B . f eterinos:

Asumiendo, como se postuló en la Sección 1 del "Modelo Eve de Éter", que el impulso eterínico elemental que produce un eterino cuando colisiona con una SP con una velocidad relativa v viene dado por:

[SG-12]         i₁ = q v (siendo q una constante numérica)

y puesto que la fuerza eterínica se ha definido como el impulso eterínico total por unidad de tiempo, entonces los n.ds.n_B.f eterinos de velocidad v antes definidos que impactan con las subpartículas de B por unidad de tiempo contribuyen con una fuerza eterínica:

[SG-14]    

donde se ha expresado la distancia PB de acuerdo con [SG-4].

La componente X de dicha fuerza elemental que es la única de interés (puesto que al integrar después a todo el círculo la componente Y de la fuerza total se anulará por simetría debido a que se ha supuesto que tanto B como el centro del círculo CE están en el eje de las X) valdrá de acuerdo con [SG-5]:

[SG-15]    

y al integrar a todo el círculo CE, es decir a todos los ángulos q, y puesto que ds = r dq se tiene:

[SG-16]        

que puede verse que para r > |x_B| es

[SG-17]              F_0X = 0

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Se ha mostrado en el cálculo anterior que, supuesto un cuerpo material B en reposo en el éter local, la fuerza eterínica que el éter ejerce sobre B en ausencia de A es cero.

En presencia de A, la contribución conjunta de los eterinos del grupo 1º (los que llegan a B sin haberse encontrado con A) más la contribución de los eterinos del grupo 2º (los eterinos que llegan a B después de haber encontrado A en su camino pero habiéndolo atravesado limpiamente sin chocar con ninguna de sus SP) se puede obtener restando de la fuerza nula calculada anteriormente la fuerza que hubieran producido sobre B los eterinos de aquellos haces PB que en su paso previo por A sufren colisiones con alguna de las subpartículas de este cuerpo A (siendo por tantos retirados del haz de eterinos).

Fig SG-9

Sean

PA_i y PA_f las 2 semirrectas que pasan por P y son tangentes al cuerpo A

PB_i y PB_f las 2 semirrectas que pasan por P y son tangentes al cuerpo B

Sean a_i, a_f, b_i, b_f las direcciones respectivas de esas 4 semirrectas, es decir los ángulos que dichas semirrectas forman con una semidirección de referencia.

Sean a₀ y b₀ las direcciones de las rectas que unen respectivamente a los puntos centrales de A y B con el punto P.

A efectos de la evaluación, se tomará como "origen" de dichas direcciones 2D al semieje +X, y se adoptará el criterio de que los ángulos que caracterizan a las direcciones (de las rectas pertinentes que parten de P) aumentan en sentido opuesto a las agujas del reloj.

Se tiene (ver la Fig SG-3):

[SG-18]         a₀ = XAP = ArcSin[PP’/PA]

            b₀ = XBP = ArcSin[PP’/PB]

Los ángulos a_i, a_f, b_i, b_f que forman con el eje X las 4 tangentes a los círculos A y B que pasan por P pueden obtenerse así:

  Fig SG-10

[SG-19]     a_i = a₀ – APA’ =  a₀ – ArcSin[AA’/PA] = a₀ – ArcSin[r_A/PA]

y análogamente se tendrían:

                 a_f = a₀ + ArcSin[r_A/PA]

[SG-19]             b_i = b₀ - ArcSin[r_B/PB]

               b_f = b₀ + ArcSin[r_B/PB]

En el ejemplo de la Fig SG-9 se ve que los eterinos procedentes de P que se dirigen hacia el cuerpo B (círculo azul) pero pasan previamente por A (círculo rojo) y pueden por tanto sufrir colisiones con alguna de sus subpartículas en vez de llegar a B son los del sector angular A_iPB_f.

Desde un P genérico, los eterinos procedentes de P que se dirigen a algún punto de B y cuyas direcciones interceptan previamente al cuerpo A están contenidos en el sector angular intersección de los sectores angulares A_iPA_f y B_iPB_f

El ángulo abarcado por dicho sector "intersección" viene dado por:

[SG-20]      x_AB = Min[a_f, b_f] – Max[a_i, b_i]

Cuando se tome x_A> x_B como en el presente ejemplo, ocurrirá que cuando x_AB es negativo significa que la intersección es vacía (cero).

La siguiente Fig-SG-11 muestra un P desde el cual el ángulo x_AB es justamente igual a cero. Para otros P de x_P menor dicho ángulo será negativo lo cual implica que desde estos otros P llegan todos los eterinos a B sin haber encontrado a A en su camino. La integración a todo el círculo CE de esta parte de la fuerza eterínica sufrida por B podrá pues restringirse a unos límites q_Min y q_Max deducibles de la geometría de la Fig-SG-11.

Fig SG-11

El q_Max o posición angular de P (representada en la Fig SG-11) a partir del cual la intersección de los sectores angulares A_iPA_f  y  B_iPB_f empieza a ser vacía puede deducirse a partir de la condición (Dirección de PA_i) = (Dirección de PB_f) es decir:

[SG-22]          a_i = b_f

Teniendo en cuenta [SG-18] y [SG-19] y sustituyendo PP’ = r Sin(q) la condición [SG-22] se traduce en:

  a₀ - ArcSin[r_A/PA] = b₀ + ArcSin[r_B/PB]        =>

[SG-23]     ArcSin[r Sin(q) /PA] - ArcSin[r_A/PA] = ArcSin[r Sin(q) /PB] + ArcSin[r_B/PB]

donde las distancias PA y PB valen:

De forma similar se deduciría el q_Min a partir del cual la intersección de los sectores angulares A_iPA_f y B_iPB_f deja de ser vacía. En este caso la condición sería:

[SG-22b]       a_f = b_i

que se traduce en:

[SG-23b]         ArcSin[r Sin(q) /PA] + ArcSin[r_A/PA] = ArcSin[r Sin(q) /PB] - ArcSin[r_B/PB]

aunque teniendo en cuenta que tanto A como B como el centro del CE están situados en el eje X (origen de ángulos q) es evidente por razones de simetría que será q_Min = -q_Max por lo que una vez deducido el q_Max (a partir de la SG-23) no es necesario resolver la SG-23b para deducir el q_Min.

No se ha conseguido despejar q en la [SG-23]. No obstante, puede obtenerse una expresión analítica de los q límites (q_Min y q_Max) en función de r, x_A, x_B, r_A, r_B siguiendo este otro cálculo ligeramente más largo.

Desde un punto P del CE el cuerpo A subtiende un ángulo   W_A = 2 r_A/PA

Puesto que A consta de n_A subpartículas, en el sector angular x_AB definido arriba (ver SG-20) "puede asumirse" que habrá un número de subpartículas dado por   n_A x_AB / W_A

Puesto que cada una de estas subpartículas subtiende desde P un ángulo 2r_S/PA entonces en conjunto las n_A x_AB / W_A subpartículas subtienden un ángulo:

[SG-24]         (n_A x_AB / W_A) 2 r_S/PA  = n_A x_AB PA/(2 r_A) 2 r_S/PA   =  n_A x_AB r_S/r_A

Pero de acuerdo con lo supuesto arriba, de cada elemento de arco ds del círculo CE "salen" n .ds eterinos por unidad de tiempo y por unidad de ángulo. Entonces, limitándose a los elementos de arco pertenecientes al arco de extremos q_Min y q_Max, de esos n .ds eterinos emergentes por unidad de ángulo serán interceptados por las subpartículas de A un número de ellos igual a:

[SG-25]        n ds n_A x_AB r_S/r_A

por unidad de tiempo. Esos eterinos dejan de llegar al cuerpo B por lo que su fuerza sobre B debe ser restada de la fuerza [SG-17] sufrida por B en ausencia de A que fue calculada arriba resultando ser cero.

Ahora bien la probabilidad de que un eterino incidente sobre el cuerpo bidimensional B (de radio r_B) colisione con una de sus n_B subpartículas (también bidimensionales pero de radio r_S) es :

[SG-26]        

donde se ha asumido (ver SG-10) que r_B >> n_B r_S por lo que el cuerpo B es altamente transparente a los eterinos.

Se ha asumido también en [SG-26] que las subpartículas de B están quietas (o tienen velocidades muy pequeñas comparadas con las de los eterinos) por lo que dicha probabilidad P_B no depende de la velocidad v de los eterinos.

Entonces de los eterinos que dejan de llegar a B por unidad de tiempo (dados en [SG-25]), habrían colisionado con alguna de sus subpartículas (en caso de no haber sido interceptados por A) los siguientes:

[SG-27]         P_B n ds n_A x_AB r_S/r_A

por unidad de tiempo. Los cuales hubieran producido sobre B una fuerza:

[SG-28]    

y de acuerdo con [SG-5] la componente X de dicha fuerza diferencial es:

[SG-29]     

si bien, en el supuesto de que la distancia entre A y B sea mucho mayor que el tamaño de estos cuerpos, para los eterinos pertinentes (procedentes de elementos de arco entre q_Min y q_Max), será aproximadamente Cos(q) =1 por lo que dichos eterinos viajarían aproximadamente en la semidirección -X y una expresión aproximada más sencilla válida para este caso sería:

[SG-30]     

Al integrar a todos los segmentos de arco cuya posición angular q esté comprendida entre q_Min y q_Max y teniendo en cuenta que  ds = r dq :

[SG-31]     

donde la magnitud del sector angular x_AB (q) dado en [SG-20] puede deducirse a partir de las expresiones [SG-19] y [SG-18].

Nota: La fuerza F_{AB X} dada en [SG-31] es la que producirían, si llegaran a B, unos eterinos ya contabilizados en F₀. Pero como no llegan (por ser apantallados por A) la fuerza sufrida por B, a falta de determinar las fuerzas de los eterinos del grupo 3º, será  F₀ - F_{AB X}  =  0 - F_{AB X} = -F_{AB X}

Ya que no se sabe integrar [SG-31] de forma exacta se ha sondeado dicha fuerza mediante integraciones numéricas para distintos conjuntos de valores de r, x_A, x_B, r_A, r_B. Se ha observado por ejemplo que la fuerza no depende del valor r del radio del círculo de evaluación elegido. (En concreto la integral de x_AB disminuye como 1/r lo cual es compensado por el factor r que aparece delante de la integral).

A continuación se calculará la fuerza sufrida por B debida a eterinos que han sufrido previamente una colisión con alguna subpartícula de A.

Recordando que se viene suponiendo que el círculo CE se mantiene bien alejado de los cuerpos A y B en comparación con los radios r_A y r_B de estos cuerpos puede entonces suponerse que un punto P de dicho círculo dista aproximadamente PA de cualquiera de las subpartículas que componen el cuerpo A, siendo en rigor PA la distancia entre P y el punto central del cuerpo A. A la distancia PA cada subpartícula subtiende un ángulo 2 r_S /PA y en total las n_A subpartículas de A (que no se tapan significativamente entre sí) subtienden un ángulo 2 n_A r_S /PA.

Puesto que del círculo CE "salen" (en cualquier dirección) n eterinos por unidad de arco, por unidad de tiempo y por unidad de ángulo, entonces procedentes del elemento de arco ds centrado en P colisionarán con alguna SP de A los siguientes eterinos por unidad de tiempo:

[SG-34]      2 n ds n_A r_S /PA

Puesto que se ha supuesto PA >> r_A todos esos eterinos tendrán la misma semidirección Pà A. A efectos de esta evaluación la semidirección de PA puede identificarse con la de un vector (ver Fig SG-3) con las siguientes coordenadas cartesianas:

[SG-35]      PA = {x_A-x_P, -y_P}

Interesan aquí los eterinos que tras chocar con alguna subpartícula de A salen rebotados en la dirección del cuerpo B. Para simplificar el cálculo se supondrá que la distancia AB >> r_A y que AB >> r_B En este caso desde cualquier subpartícula de A el cuerpo B subtiende aproximadamente el mismo ángulo 2 r_B /AB si bien por otra parte puede considerarse a efectos del cálculo que todos los eterino rebotados en A que llegan a algún punto del cuerpo B tienen aproximadamente la misma semidirección que puede representarse por el vector AB de componentes:

[SG-36]         AB = {x_B-x_A, 0}

Ahora bien, de las propiedades del producto escalar de vectores, el ángulo que forma el vector AB con el vector PA viene dado por:

[SG-37]    

De acuerdo con la suposición hecha arriba, cuando un eterino de velocidad v relativa a un cuerpo material "ordinario" (como A o B) colisiona con una de sus subpartículas, la probabilidad de que sufra una desviación angular a (respecto a la dirección inicial de v) vale, por unidad de ángulo:

[SG-7b]                     

pero la expresión [SG-37] de a = ArcCos(k) invita a aplicar a [SG-7b] la simplificación trigonométrica:

[SG-38]               Cos²[ArcCos(k)/2] = 1/2 + k/2

y la P[a] dada en [SG-7b] puede sustituirse por:

[SG-7c]                 

y la probabilidad de que un eterino procedente de P rebote en A hacia algún punto de B vale:

[SG-39]         

Pero, como se vio arriba en [SG-26], la probabilidad de que un eterino incidente sobre B choque con alguna de sus n_B subpartículas es:

[SG-26b]       

Por lo tanto la probabilidad conjunta de que un eterino tras rebotar en A se dirija hacia B y colisione allí con alguna de sus subpartículas vale:

[SG-40]        

y por tanto (ver SG-34) de los 2 n ds n_A r_S /PA eterinos que, procedentes del arco ds, chocan con alguna SP de A por unidad de tiempo, los siguientes chocan después, por unidad de tiempo, con alguna SP de B

[SG-41]         

y puesto que un eterino de velocidad v relativa a una SP le comunica un impulso eterínico q v entonces los eterinos pertinentes dados en [SG-41] que (de acuerdo con las suposiciones AB >> r_A , AB >> r_B ) viajan todos de A a B aproximadamente en la semidirección -X con celeridad v, le producen a B una fuerza eterínica cuya componente X vale:

[SG-42]        

Integrando a todos los elementos de arco del círculo CE y teniendo en cuenta que x_P = r Cos(q) y que  ds = r dq

[SG-43]       

donde    AB = |x_B-x_A|    y donde      

-------------------

Ahora bien, en el cálculo de la fuerza [SG-43] sufrida por B debida a eterinos que han sufrido previamente una colisión con alguna subpartícula de A, se ha supuesto que A es bombardeado desde todas las direcciones por eterinos que provienen del espacio exterior (implementado por el círculo CE) sin que el cuerpo B haya obstaculizado la llegada a A de dichos eterinos. Pero, eso no es cierto para todas las direcciones pues hay un haz de direcciones por las que llegan a A menos eterinos que los que a él se dirigían procedentes del espacio exterior ya que el cuerpo B ha obstaculizado a una pequeña parte de los mismos. La siguiente figura ilustra este caso:

En analogía con el cálculo hecho arriba (ver SG-20) de los sectores angulares que contenían direcciones Pà B que pasan por algún punto de A, ahora, intercambiando los papeles de A y B:

Los eterinos procedentes de P que se dirigen a algún punto de A y cuyas direcciones interceptan previamente al cuerpo B están contenidos en el sector angular intersección de los sectores angulares A_iPA_f y B_iPB_f

     Fig SG-12

El ángulo abarcado por dicho sector "intersección" viene dado nuevamente (al igual que en SG-20) por:

[SG-45]         x_BA = Min[a_f, b_f] – Max[a_i, b_i]

Cuando se tome x_A> x_B como en la Fig SG-12, ocurrirá que cuando x_BA es negativo es que la intersección es vacía (cero).

         Fig SG-14

Teniendo en cuenta la definición hecha arriba de los ángulos a₀ y b₀ como los asociados a las direcciones de las rectas que unen respectivamente los puntos centrales de A y B con el punto P:

[SG-46]        a₀ = XAP = ArcSin[PP’/PA]

     b₀ = XBP = ArcSin[PP’/PB]

los ángulos a_i, a_f, b_i, b_f que forman con el eje X las 4 tangentes a los círculos A y B que pasan por P son nuevamente:

       a_i = a₀ - ArcSin[r_A/PA]

      a_f = a₀ + ArcSin[r_A/PA]

[SG-47]               b_i = b₀ - ArcSin[r_B/PB]

              b_f = b₀ + ArcSin[r_B/PB]

y el ángulo q_Min límite de P por debajo del cual el cuerpo B no apantalla todavía al cuerpo A puede deducirse de:

[SG-48]           a_i = b_f

(Nota: a diferencia del cálculo de arriba en el que se analizaba la ocultación de A sobre B, ahora la condición a_i = b_f permite deducir el q mínimo en vez del q máximo).

Teniendo en cuenta [SG-46] y [SG-47] y sustituyendo PP’ = r Sin(q) la condición [SG-48] se traduce en:

[SG-49]           ArcSin[r Sin(q) /PA] - ArcSin[r_A/PA] = ArcSin[r Sin(q) /PB] + ArcSin[r_B/PB]

De forma similar se deduciría el q_Max a partir del cual la intersección de los sectores angulares A_iPA_f y B_iPB_f pasa a ser vacía. En este caso la condición sería:

[SG-48b]          a_f = b_i

que se traduce en:

[SG-49b]     ArcSin[r Sin(q) /PA] + ArcSin[r_A/PA] = ArcSin[r Sin(q) /PB] - ArcSin[r_B/PB]

aunque teniendo en cuenta que tanto A como B como el centro del CE están situados en el eje X (origen de ángulos q) es evidente por razones de simetría que será q_Max = -q_Min (o si se prefiere q_Max = 2p -q_Min ) por lo que una vez deducido el q_Min (a partir de la SG-49) no es necesario resolver la SG-49b para deducir el q_Max .

Nota: El que la misma igualdad [SG-23] o [SG-49] permita deducir los ángulos límites tanto para el apantallamiento de A sobre B como para el apantallamiento de B sobre tiene su explicación en que la ecuación [SG-49] tiene como soluciones cuatro valores distintos de q de los cuales una pareja corresponde al apantallamiento de A por B y la otra al de B por A. Lo mismo puede decirse de la igualdad de las ecuaciones [SG-23b] y [SG-49b].

Desde un punto P del CE el cuerpo B subtiende un ángulo W_B = 2 r_B/PB    Puesto que B consta de n_B subpartículas, en el sector angular x_BA definido en SG-45 "puede asumirse" que habrá un número de subpartículas dado por n_B x_BA / W_B . Puesto que cada una de estas subpartículas subtiende desde P un ángulo 2r_S/PB entonces en conjunto las n_B x_BA / W_B subpartículas subtienden un ángulo:

[SG-50]     (n_B x_BA / W_B) 2 r_S/PB  =  n_B x_BA PB/(2 r_B) 2 r_S/PB   =  n_B x_BA r_S/r_B

Pero de acuerdo con lo supuesto arriba, de cada elemento de arco ds del círculo CE "salen" n .ds eterinos por unidad de tiempo y por unidad de ángulo. Entonces, limitándose a los elementos de arco pertenecientes al arco de extremos q_Min y q_Max, de esos n .ds eterinos emergentes por unidad de ángulo serán interceptados por las subpartículas de B, antes de llegar a A, un número de ellos igual a:

[SG-51]          n ds n_B x_BA r_S/r_B

Pero la probabilidad de que un eterino incidente sobre A choque con alguna de sus n_A subpartículas es:

[SG-52]         

y por tanto el número de colisiones pertinentes (con SPs de A) por unidad de tiempo es:

[SG-53]        P_A n ds n_B x_BA r_S/r_B = n ds n_A n_B x_BA r_S²/(r_A r_B)

De acuerdo con la hipótesis de trabajo hecha arriba, cuando un eterino de velocidad v relativa a un cuerpo material "ordinario" (como A o B) colisiona con una de sus subpartículas, la probabilidad de que sufra una desviación angular a (respecto a la dirección inicial de v) vale, por unidad de ángulo:

[SG-54]             

Si, para simplificar, se considera solo el caso en que la distancia AB entre los cuerpos es mucho mayor que el tamaño de estos (o sea AB >> r_A y AB >> r_B) entonces los eterinos pertinentes, que son ahora los que van de B hacia A y rebotan de nuevo hacia B, viajarían, tanto a la ida Bà A como a la vuelta Aà B, cuasi paralelos al eje X para lo cual deberían sufrir en sus colisiones con las SPs de A una desviación angular a = p .

Por todo ello, de los eterinos contabilizados en [SG-53] (que habrían colisionado con alguna SP de A en caso de no haber sido apantallados por B) habrían llegado de nuevo hacia B los siguientes (por unidad de tiempo):

[SG-55]         P[a] n ds n_A n_B x_BA r_S²/(r_A r_B)   =  2/p n ds n_A n_B x_BA r_S²/(r_A r_B)

y puesto que la probabilidad de que un eterino incidente sobre B choque con alguna de sus n_B subpartículas es:

[SG-56]      

estos eterinos (de velocidad v) habrían producido sobre B una fuerza de semidirección –X y de módulo:

[SG-57]       dF_BAB   = q v P_B 2/p n ds n_A n_B x_BA r_S²/(r_A r_B) =

                      = q v 2/p n ds n_A n_B² x_BA r_S³/(r_A r_B²)

Al integrar a todos los segmentos de arco cuya posición angular q esté comprendida entre q_Min y q_Max y teniendo en cuenta que ds = r dq  la componente X de la fuerza en cuestión es pues:

[SG-58]    

donde la magnitud del sector angular x_BA (q) dado en [SG-45] puede deducirse a partir de las expresiones [SG-46] y [SG-47].

Nota: La fuerza F_{BAB X} dada en [SG-58] es la que producirían, si llegaran de vuelta a B, unos eterinos ya contabilizados en la f_ABX dada en [SG-43]. Pero como no llegan (por haber sido apantallados en su primer paso por el propio B) hay que restar dicha fuerza F_{BAB X} de la fuerza f_ABX dada en [SG-43].

Se han hecho varias evaluaciones numéricas de las anteriores fuerzas.

Ejemplo 1. Se ha tomado:

q=1     v=1     n=1      n_A=1      n_B=1

r = 1000        r_A=5            r_B=3          x_A=100          x_B= -100

obteniéndose:

- F_{AB X}   =       0.020 r_S²

  f_ABX   =       - 0.040 r_S²

– F_{BAB X}   =   0.0042 r_S³

Nota:  Observese que la fuerza llamada F_{BAB X} incluye un factor adicional r_S n_B/r_B respecto a los parámetros que factorizan las otras 2 fuerzas. Si ocurriese que dicho factor fuese próximo a 1 sería el módulo de F_BABX unas 10 veces menor que el de f_ABX. Ahora bien, puesto que se ha supuesto arriba que r_B >> n_B r_S ello implica que 1 >> n_B r_S/r_B por lo que dicho factor es mucho menro que 1 y el módulo de F_BABX será muchos ordenes de magnitud menor que el de f_ABX y que el de F_ABX por lo que puede decirse que la fuerza F_BABX es despreciable en el escenario asumido en este estudio.

La fuerza total sufrida por B debida a la presencia gravitatoria de A es pues (despreciando F_{BAB X}) en este ejemplo:

F_GX =  - F_{AB X} + f_ABX  =   0.020 r_S² - 0.040 r_S² =    - 0.020 r_S²

Se trata por tanto de una fuerza repulsiva puesto que en el ejemplo se han situado A y B de forma que x_A > x_B

Tras analizar otros ejemplos (y salvo error en los cálculos) puede concluirse que la predicción es que en 2D la fuerza gravitatoria tipo Le Sage es repulsiva.

Ejemplo 2.  Tomando:

q=1      v=1     n=1      n_A=1     n_B=1

r = 2000     r_A=1      r_B=0.1     x_A=200      x_B= -100

se obtuvo:

-F_{AB X} =   0.0131 r_S²

f_ABX   =   - 0.0267 r_S²

Nuevamente el módulo de f_ABX es aproximadamente doble que el de F_{AB X} por lo que nuevamente la fuerza total es repulsiva.

Se ha comprobado también con otros ejemplos:

que la fuerza total disminuye con la distancia AB de forma proporcional a 1/AB

que el radio r del círculo de evaluación CE no tiene influencia significativa en el valor de la fuerza total.

Comentarios.

El cálculo en 2D predice que, suponiendo colisiones elásticas entre lo eterinos y las partículas materiales más elementales, la fuerza de Le Sage no es nula. Ello invita a sospechar que en 3D y asumiendo colisiones elásticas la fuerza tampoco será nula en contra de lo que supuso el propio Le Sage (ver por ejemplo http://en.wikipedia.org/wiki/Le_Sage's_theory_of_gravitation ) y vienen repitiendo, sin demostrarlo, varios autores.

No obstante, aunque el apantallamiento eterínico que se producen mutuamente los cuerpos materiales sea responsable de una fuerza entiendo que esa fuerza, llamada de Le Sage, no es adecuada para explicar la gravitación o al menos no lo es por sí sola. Parece por ejemplo difícil de explicar el corrimiento hacia el rojo gravitacional (experimento de Pound & Rebka, etc,...) sin invocar una alteración significativa del espacio en la proximidad de los cuerpos masivos. (Dicha alteración del espacio viene implementada en la Física eterínica por una alteración significativa de la distribución de velocidades de los eterinos). Pero la perturbación eterínica que es capaz de causar el fenómeno de apantallamiento de Le Sage, bajo el supuesto de colisiones elásticas de los eterinos con la materia, no parece ser capaz de predecir un frenado del ritmo de los relojes materiales tanto mayor cuanto mayor sea la masa del cuerpo central y cuanto menor sea la distancia del reloj a dicho cuerpo y a la vez independiente de la masa del reloj.

Por ello pienso actualmente que la gravitación es un efecto residual de los campos electromagnéticos los cuales sí producen una importante perturbación del espacio.

Más aún, si se demostrara matemáticamente que la fuerza de Le Sage es repulsiva, también en 3D, ello invitaría a pensar que dicha fuerza tiene poco que ver con la gravitación y puede en cambio tener mucho que ver con la misteriosa fuerza que parece estar aumentando el régimen de expansión del Universo (asociada a la "energía oscura") descubierta en años recientes.

Sumario de definiciones, constantes y variables:

A cuerpo de materia "ordinaria" que en la evaluación 2D se sustituye por un círculo de materia. También se denomina A al punto central de dicho círculo.

B otro cuerpo circular de materia "ordinaria" aunque opcionalmente de distinto radio y densidad. También se denomina B al punto central del círculo de materia llamado B.

SP Subpartícula elemental de materia de la que están constituidos tanto A como B. También llamada "partícula simple" o Simple Particle. Las SPs son opacas a los eterinos.

r_A, r_B, r_S  radios respectivos de A, B y de una SP.

n_A, n_B   número de SPs que componen respectivamente A y B.

Materia ordinaria 2D: se supone que las SPs que constituyen A y B están distribuidas en los mismos de forma homogénea. Se supone asimismo que los cuerpos A y B son altamente transparentes a los eterinos lo cual es consecuencia de asumir:

r_A >> n_A r_S

r_B >> n_B r_S

x_A, x_B abscisas (coordenadas cartesianas x) respectivas de los puntos centrales de A y B.

AB  distancia entre los cuerpos A y B. En la evaluación es AB = |x_A-x_B|

CE Círculo de Evaluación. Para implementar una muestra de los eterinos del éter local que baña a los cuerpos materiales se define un círculo virtual de cuyos puntos emerge la misma cantidad de eterinos en todas las direcciones. El CE se define de forma que los cuerpos A y B estén en su interior.

r  radio del CE.

P punto genérico del CE.

PA, PB distancias desde P a los centros de respectivamente A y B.

O punto central del CE

q ángulo que forma la semidireción OP con la semidirección de referencia +X

n  número de eterinos que emergen del círculo de evaluación CE por cada arco unidad, por unidad de ángulo y por unidad de tiempo.

ds  elemento de arco del círculo CE

q  constante que entra en la definición del impulso elemental que un eterino produce sobre una SP cuando colisiona con ella. (Se definió i₁ = q v siendo v la velocidad del eterino relativa a la SP).

v celeridad de lo eterinos pertinentes.

PA_i , PA_f   semirrectas que pasan por P y son tangentes al círculo que define al cuerpo A

PB_i , PB_f   semirrectas que pasan por P y son tangentes al círculo que define al cuerpo B

x_AB sector angular intersección de los sectores angulares subtendidos desde P por los cuerpos A y B. Mide el apantallamiento que desde el punto de vista de P produce el cuerpo A sobre el cuerpo B.

x_BA igual que x_AB pero aplicado a la evaluación del apantallamiento que desde el punto de vista de P produce el cuerpo B sobre el cuerpo A.

a_i, a_f ángulos que forman con el eje +X las 2 tangentes trazadas desde el punto P al círculo que representa al cuerpo A.

b_i, b_f   ángulos que forman con el eje +X las 2 tangentes trazadas desde el punto P al círculo que representa al cuerpo B.

a₀, b₀  ángulos que forman con el eje +X las rectas que unen respectivamente a los puntos centrales de A y B con el punto de evaluación P.

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